лизе (Алгоритм S)

Дополнительные условные
обозначения, используемые в качестве подстрочных индексов в ГОСТ Р ИСО 5725-5

a, b                     Идентификаторы для проб в
эксперименте по модели с разделенными уровнями

t                           Идентификатор для
пробы в лаборатории i на уровне j

H                          Между пробами

Дополнительное условное
обозначение, используемое в качестве надстрочного индекса в ГОСТ Р ИСО 5725-5

*                          Робастная оценка


ПРИЛОЖЕНИЕ В
(справочное)

 

Вывод факторов, используемых
в Алгоритмах A и S

B.1 Введение

Использование робастных методов анализа данных экспериментов по
оценке прецизионности предложено Комитетом аналитических методов Королевского
Химического Общества Соединенного Королевства [8]. Алгоритм А в настоящем
стандарте взят из публикации так же, как и коэффициент 1,134, использованный
для расчета s* в Алгоритме А (это значение 1/√Θ для случая с
= 1,5).

Алгоритм S схож с процедурой, приведенной в [8] для специального
случая, в котором каждая лаборатория представляет п = 2 измерений для
каждого уровня. Это делает удобным применение метода робастного анализа в
экспериментах по оценке прецизионности с более чем двумя факторами (такими, как
эксперимент для гетерогенного материала в разделе 5 настоящего стандарта и
модели в ГОСТ РИСО 5725-3). Вывод факторов, используемых в алгоритме S,
приведен ниже.

В.2 Условные обозначения,
применяемые в настоящем приложении

σ — истинное (действительное) стандартное отклонение,

s — стандартное отклонение, дающее оценку σ,

v —число степеней свободы для s,

ω — v + 2

ξ —согласующий фактор для алгоритма S,

η — ограничительный фактор для алгоритма S,

χ2v—
распределение χ2 с v степенями свободы

если
s≤ η σ,

если s > η σ,

В.3 Вывод ограничительного фактора η и согласующего фактора
ξ

Согласующий фактор ξ, определен как значение, необходимое для
регулирования s* таким образом, чтобы (s*)2 давала
несмещенную оценку σ2, не отягощенную систематической
погрешностью, то есть



                                                                                 (B.1)

 

Это требование может быть записано в виде



                                                                        (B.2)

 

где случайная величина в фигурных скобках, тесно связанная с v(s*/σ)2,
имеет распределениеχ2v.

Плотность вероятности распределения χ2v
равна

 

f(x) = е-x/2
x(v/2-1)2-v/2/Г(v/2),                                                                                      (B.3)

 

так что

                                                              (В.4).

потому что предел s ≤η σ эквивалентен v
(s/σ)2 ≤ v η2.

Второй член в правой части (В.4) равен

                                                           (В.5)

Для Алгоритма S ограничительный фактор η выбран так, что
параметр ησ является верхней 10 %-ной точкой распределения s,
то есть

Р(s> ησ)=0,1.                                                                                                      (В.6)

Биометрические таблицы для распределения χ2 дают
значения η, представленные в таблице 23 настоящего стандарта. Равенства
(В.5) и (В.6) означают, что второй член в правой части уравнения (В.4) равен
0,1 v η2. Заметим, что η зависит от числа степеней
свободы для s.

Первый член в правой части уравнения (В.4) можно представить в виде



 

 

 

При ω = v + 2 хорошо известное свойство гамма-функции
имеет вид

Г(ω/2)=Г(v/2 +1)=(v/2)
x
Г(v/2).

Тогда этот первый член можно переписать в виде

                             (B.7)

Следовательно, для данного числа степеней свободы v фактор
η может быть рассчитан, как это описано выше, и тогда z может быть оценен снова с
использованием значений χ2, приведенных в биометрических
таблицах. Таким образом, оба члена правой части уравнения (В.4) могут быть
оценены.

Подстановка равенств (В.2), (В.5), (В.6) и (B.7) в (В.4) дает

 

v/ξ2=v x z + 0,1vη2

или

                                                                                                (B.8)

Это равенство может быть использовано для получения значений
согласующего фактора ξ, представленных в таблице 23 настоящего стандарта.


ПРИЛОЖЕНИЕ С
(справочное)

 

Вывод равенств, используемых для робастного анализа

Равенства (62) и (63), используемые для расчета робастных величин
среднего значения и стандартного отклонения методом, описанным в6.2.6,
могут быть получены из соотношений (60) и (61) Алгоритма А следующим образом.

С обозначениями, принятыми в 6.2.4 и 6.2.6:



                        (С.1)

 

                        (С.2)

 

                        (С.3)

 

 

где Σ’ —
суммирование (р - ul- иU) значений по пунктам xi, для
которых |хi - х*i| ≤φ.

Значит, уравнение (C.1) может быть записано в виде



Тогда

(p – uL – uU) x x* = (p – uL
– uU) x x’ + 1,5(uU
– uL) x s*

или

x* = x’ + 1,5(uU - uL) s*/(p
– uL – uU),                                                                  (С.4)

 

что является равенством (62).

Для получения уравнения (63) из уравнения (61) заметим, что сумма в
уравнении (61) может быть представлена следующим образом:

                                        (С.5)

 

Подставляя х* в сумму в правой части выражения для х*,
после некоторых алгебраических преобразований получим

              (С.6)

 

Используя определение s' в уравнении (С.3), можно записать

(С.7)

Подставив уравнение (С.7) в уравнение (61), получим уравнение (63).


ПРИЛОЖЕНИЕ D
(справочное)

Библиография

[1] ISO 3534-1:1993 Statistics-Vocabulary and symbols — Part1:
Statistical methods. Terms and definitions

[2] Youden, WJ. The Yocden plot. Industrial Quality Control

[3] Mandel, J. and Lashof, T.W, Interpretation and Generalization of
Youden's Two-Sample Diagram. Journal of Quality Technology

[4] BS 3144:1968, Methods of sampling and physical testing of leather.
BritishStandardsInstitution  

[5] BS 812-103:1985, Testing aggregates — Part 103: Methods for
determination of particle size distribution. British Standards Institution

[6] BS 812-121:1989, Testing aggregates—Part 121; Methods for determination
of soundness. British Standards Institution

[7] Scheffe, H. The analysis of variance. Wiley, New York, 1959

[8] Analytical Methods Committee, Robust statistics—How not to reject
outliers. Part 1: Basic concepts. Part 2:Inter-laboratory trials. The Analyst

[9] SWEENEY, An inter-laboratory study of the determination of protein
by combustion in feeds. Journal of the Association of Official Analytical
Chemists