7.4.5 Расчет дисперсий

Для каждого уровня рассчитывают три дисперсии: повторяемости,
межлабораторную и воспроизводимости.


7.4.5.1 Дисперсия повторяемости равна

7.4.5.2 Межлабораторная дисперсия равна


 




где

Соответствующие расчеты проиллюстрированы примерами в B.1 и В.3 приложения В.


7.4.5.3 Для частного случая, когда все пij=п=2, приведенные формулы упрощаются и
имеют вид

Они проиллюстрированы примером, представленным в В.2 приложения В.

7.4.5.4
Когда вследствие случайных эффектов (вызванных ограниченностью выборки) из
данных расчетов для получается отрицательное значение, его следует принять
равным нулю.


7.4.5.5 Дисперсия воспроизводимости составит

7.4.6 Зависимость дисперсийот
т

Далее необходимо определить, зависит ли прецизионность от общего
среднего значения т для уровня, и
если зависит, то найти соответствующее функциональное соотношение.

7.5 Установление
функциональной зависимости между значениями прецизионности и средним значением т для уровня

7.5.1 Регулярная функциональная связь между прецизионностью и т существует не во всех случаях. В
частности, если неотъемлемой частью расхождений между результатами измерений
является неоднородность материала, функциональная связь будет иметь место лишь
в случае, если данная неоднородность является регулярной функцией среднего
значения для уровня т. Для твердых
материалов различного состава, получаемых по различным технологиям, эта
функциональная связь никоим образом не является несомненной. Этот вопрос нужно
решить до применения описаннойниже
процедуры. В качестве альтернативы для каждого рассматриваемого материала могли
бы быть установлены отдельные значения прецизионности.

7.5.2 Обоснования и процедуры вычислений, изложенные в 7.5.3—7.5.9,
относятся к стандартным отклонениям как повторяемости, так и воспроизводимости,
однако для краткости здесь они представлены только для повторяемости. Будут
рассмотрены только три типа соотношений:

I: sr = bm (прямая линия, проходящая через начало координат);

II: sr =а + bm (прямая
линия, проходящая выше начала координат);

III: lg sr = с + d lg т (или sr= Cmd);
d ≤ 1 (экспоненциальная
зависимость).

Можно ожидать, что в большинстве случаев существования зависимости
по крайней мере одно из данных равенств даст ее удовлетворительное описание.
Если же нет, то эксперт по статистике, осуществляющий анализ, должен будет
найти альтернативное решение. Чтобы избежать путаницы, постоянные величины а, b, с, Си
d, присутствующие в данных
равенствах, могут различаться при помощи подстрочных индексов ar, brдля повторяемости и aR, bR — для
воспроизводимости, однако они были опущены в записи в данном разделе опять же
для упрощения системы обозначений. Кроме того, sr было сокращено просто до s для удобства простановки подстрочного
индекса уровня j.

7.5.3 Обычно d > 0,
таким образом, зависимости I и III будут сводиться к s = 0 для т = 0, что может показаться
неприемлемым. Однако при упоминании в отчетах данных по прецизионности
необходимо разъяснять, что они применимы только в пределах уровней,
охватываемых межлабораторным экспериментом по ее оценке.

7.5.4 Для а = 0 и d = 1 все три зависимости являются
тождественными, поэтому в случае, когда а
располагается вблизи нуля и/или d
располагается вблизи единицы, две или все три данные зависимости будут
обеспечивать практически равноценное соответствие; предпочтение должно быть отдано
зависимости I, поскольку она допускает нижеследующее простое утверждение: «Два
результата измерений считаются сомнительными, если они различаются более чем на
(100 b)%».

С
точки зрения статистической терминологии данная формулировка означает, что коэффициент
вариации (100 s/m) постоянен для всех
уровней.

7.5.5
Если на графике функции sj в зависимости от
аргумента или на графике функции lg sj,в зависимости от аргумента  обнаруживается, что совокупность точек лежит
достаточно близко к прямой линии, то может оказаться достаточной графическая
аппроксимация; однако если из каких-то соображений предпочтение отдается
аналитическому методу аппроксимации, то для зависимостей I и II рекомендуется
методика, изложенная в 7.5.6, а для зависимости III — методика, представленная
в 7.5.8.

7.5.6
С точки зрения статистики аппроксимация прямой линией осложняется за счет того,
что как , так и sj, являются
оценками и, следовательно, подвержены ошибкам. Однако поскольку угловой
коэффициент b обычно невелик (порядка
0,1 или менее), то ошибки в оценке имеют небольшое влияние, и превалируют
ошибки в оценке s.

7.5.6.1 Хорошая оценка параметров линии
регрессии требует взвешенной регрессии, так как стандартное отклонение величины
s пропорционально прогнозируемому
значению sj(ŝj)

Весовые коэффициенты должны быть
пропорциональны 1/(ŝj)2 где ŝj
представляет собой прогнозируемое стандартное отклонение повторяемости для
уровня j. Однако ŝj, зависит и от параметров,
которые еще только должны быть рассчитаны.

Математически правильная методика нахождения оценок,
соответствующих наименьшим взвешенным среднеквадратичным отклонениям, довольно
сложна. Рекомендуется нижеследующая методика, которая оказалась
удовлетворительной на практике.


7.5.6.2 При весовых коэффициентах Wj равных 1/(ŝNj)2,
где N= 0, 1, 2 ... для
последовательных итераций, расчетные формулы выглядят следующим образом:


 



Тогда для зависимости I (s= bт)
значение b равно T5/T3

 Для зависимости II (s = а
+ bт):


 



7.5.6.3
В случае зависимости I алгебраическая подстановка весовых коэффициентов
Wj = 1/(ŝj)2, причем  приводит к упрощенному выражению: